1.4. Розрахунок складних електричних кіл

Складним електричним колом називається електричне коло, що не зводиться до послідовного або паралельного з’єднання його елементів (джерел і споживачів).

Існує декілька методів розрахунку складних електричних кіл: метод вузлових та контурних рівнянь; метод контурних струмів; метод накладення; метод вузлових напруг; метод еквівалентного генератора тощо. Мета розрахунку: визначити сили струмів у вітках за заданими ЕРС і опорами.

Метод вузлових та контурних рівнянь. Застосовуються перший та другий закони Кірхгофа для електричних кіл постійного струму. Правила застосування методу:

1. Визначити загальну кількість рівнянь (дорівнює числу невідомих струмів, тобто числу віток).
2. Вибрати довільно напрямок струмів. Струми, спрямовані до вузла, вважаються позитивними, від вузла – негативними.
3. Скласти вузлові рівняння (за першим законом Кірхгофа для електричного кола постійного струму). Кількість рівнянь дорівнює числу вузлів мінус одиниця.
4. Скласти контурні рівняння (за другим законом Кірхгофа для електричного кола постійного струму). Кількість контурних рівнянь дорівнює різниці загальної кількості рівнянь та кількості вузлових рівнянь.  
5. Розв’язати отриману систему рівнянь математичними методами.

При цьому слід вибирати найбільш прості контури, тобто контури з меншим числом джерел ЕРС і резисторів, а в кожному новому контурі повинна знаходитися хоча б одна вітка, що не входить до контурів, для котрих уже складені рівняння. Обхід контуру вибирають довільно. Позитивними вважають ЕРС, напрямок яких збігається з напрямком обходу контуру. Падіння напруги на резисторі позитивне там, де напрямок струму збігається з напрямком обходу. Оскільки напрямок струму вибирається довільно, то 
якщо при розрахунку отримаємо негативне значення, то в дійсності струм протікає у зворотному напрямку. 

Для прикладу розрахуємо (визначимо сили струмів) електричне коло, зображене на рис. 1.7.

Рис. 1.7 – Приклад застосування методу вузлових та контурних рівнянь

Електричне коло містить три вітки. Отже, загальна кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих струмів – три. Вибираємо довільно напрямок струмів , , . Складаємо вузлові рівняння. Електричне коло має два вузли, отже вузлове рівняння буде одне. 

Для вузла bcd: .

Необхідно скласти два контурних рівняння.

Контур abcfa: .

Контур fcdef: .

Одержуємо неоднорідну систему з трьох лінійних алгебраїчних рівнянь:

.                                   (1.22)

Порядок розв’язання таких систем відомий з курсу вищої математики. В даному випадку систему можна розв’язати методом виключення змінних. З першого рівняння отримуємо співвідношення між силами струмів

,

після підстановки якого в інші рівняння порядок системи знижується на одиницю:

.

Далі розв’язання виконується аналогічно. Після нескладних перетворювань отримуємо:

,

.

Метод контурних струмів. Метод вузлових і контурних рівнянь є достатньо громіздким (чим більша кількість віток, тим більше кількість рівнянь у системі). Метод контурних струмів дає значне спрощення розрахунку, тому що зменшує кількість рівнянь у системі. Відповідно до цього методу складаються рівняння тільки за другим законом Кірхгофа для електричного кола постійного струму, для чого обирається необхідне число контурів. 

Розрахуємо електричне коло, приведене у попередньому прикладі до методу вузлових і контурних рівнянь (рис. 1.7). Обмежимося двома контурами. Вибираємо напрям струмів I1, I2 (рис. 1.8).

Рис. 1.8 – Приклад застосування методу контурних струмів

Контур abcfa: .

Контур fcdef: .

Одержуємо неоднорідну систему з двох лінійних алгебраїчних рівнянь:

.                (1.23)

Таким чином у нас утворилося на одне рівняння менше. Тобто система математично розв’язується простіше.

Інші методи розрахунку складних електричних кіл розглядаються у спеціальній електротехнічній літературі.