4.1. Перехідні процеси в електричному колі постійного струму  з послідовно з’єднаними резистивним та індуктивним елементами

Електричне коло у вигляді послідовно з’єднаних резистивного (резистора) та індуктивного (ідеальної котушки індуктивності) елементів приведено на рис. 3.23 (нагадаємо, що раніше домовилися позначати активний опір для постійного струму – R, для змінного струму – r).

Вмикання електричного кола з послідовно з’єднаними резистивним та індуктивним елементами до джерела постійної напруги. Запишемо для електричного кола, що досліджується, другий закон Кірхгофа:

.                                                        (4.3)

Для того щоб знайти величину струму, необхідно розв’язати диференційне рівняння (4.3). Спочатку перетворюємо рівняння (4.3):

.                                                  (4.4)

За законом Ома . Цей струм є сталим, тобто таку силу має струм після закінчення перехідного процесу. Тоді:

.                                                    (4.5)

Для розв’язання диференційного рівняння (4.5) застосовуємо метод поділу змінних:

.                                                   (4.6)

Інтегруємо ліву та праву частини рівняння (4.6). Отримуємо:

,                                                   (4.7)

де К – стала інтегрування, що визначається з початкових умов.

Після потенціювання рівняння (4.7) отримуємо:

.                                                  (4.8)

Початкові умови визначаємо за першим законом комутації: при t = 0: i = 0 (сила струму не може змінюватися стрибкоподібно – до підключення кола до джерела i = 0). Тоді K = I. Формула (4.8) набуде вид:

.                                                            (4.9)

Позначимо  –  стала часу електричного кола. 

Стала часу електричного кола (позначається грецькою літерою τ, має розмірність часу) – фізична величина, що характеризує електричне коло, в якому електричний струм є експоненціальною функцією часу; дорівнює інтервалу часу, протягом якого електричний струм в колі зменшується в е разів.

Залежності  i = f (t) для різних τ приведені на рис. 4.1.

Рис. 4.1 – Залежності i = f (t) для різних τ при вмиканні до джерела  постійної напруги електричного кола з послідовно з’єднаними резистивним та індуктивним елементами

Таким чином, сила струму в електричному колі змінюється за експоненціальним законом. Вираз (4.9) дозволяє розглядати перехідний електричний струм  i як суму двох складових: 

• сталого електричного струму:

;                                                       (4.10)

• вільного електричного струму:

.                                                 (4.11)

Перехідний електричний струм – електричний струм в електричному колі під час перехідного процесу.

Сталий електричний струм – електричний струм, який існує в електричному колі по закінченні перехідного процесу.

Вільний електричний струм – електричний струм, рівний різниці перехідного та сталого струмів. Теоретично вільний електричний струм існує нескінченно довго, але вважають, що при t ≈ 3 ⋅ τ перехідний процес практично закінчується.

Вимикання електричного кола з послідовно з’єднаними резистивним та індуктивним елементами зі сталим струмом від джерела постійної напруги. Припустимо, що після вимикання від джерела електричне коло миттєво вмикається на активний опір. У цьому випадку математично робота електричного кола описується за другим законом Кірхгофа:

.                                                  (4.12)

За аналогією до розглянутого вище випадку розв’яжемо рівняння (4.12) методом поділу змінних:

,   ,   ,   ,

де К – стала інтегрування, що визначається з початкових умов: при t = 0: i = I (за першим законом комутації).

Таким чином, сила струму в колі змінюється за експонентою:

.                                                (4.13)

Залежності i = f (t) для різних τ приведені на рис. 4.2.

Рис. 4.2 – Залежності i = f (t) для різних τ при вимиканні від джерела постійної напруги електричного кола з послідовно з’єднаними резистивним та індуктивним елементами

Стала часу в електричних колах з резистивним та індуктивним елементами залежить тільки від співвідношення величин індуктивності та активного опору. Якщо коло має дуже малу індуктивність, то струм у колі досягає сталого значення майже миттєво.