4.4. Перехідні процеси в електричному колі змінного струму з послідовно з’єднаними резистивним та ємнісним елементами

Електричне коло, що аналізується, приведено на рис. 3.27. 

Електричне коло з послідовно з’єднаними резистивним та ємнісним елементами є еквівалентною схемою електричної лінії передачі. 

Розглянемо випадок вмикання електричного кола до джерела змінної напруги u. Припустимо, що затискачі електричного кола підключено до джерела синусоїдальної напруги, яка математично описується формулою (4.20).

У параграфі 3.5 показано, що сталий струм такого кола синусоїдальний і випереджає напругу за фазою на кут φ:

,                                         (4.32)

де , , < 0.

Стала напруга на затискачах конденсатора відстає за фазою від сили струму на кут :

.                    (4.33)

Припускаючи, що ємнісний елемент попередньо не був заряджений, у момент підключення кола до джерела напруга на затискачах ємнісного елементу дорівнює нулю. Це можна пояснити накладенням на сталу напругу вільної напруги, рівної та оберненої за знаком сталій напрузі. Тобто напругу на затискачах ємнісного елемента можна розглядати як суму двох напруг – сталої та вільної: 

.                                          (4.34)

У момент вмикання кола до джерела (при t = 0) uC (0) = 0, тому з формул (4.33), (4.34) випливає:

.                                     (4.35)

Сила струму у колі буде визначатися формулою:

.                                   (4.36)

Тобто перехідний струм має дві складові – сталий струм та вільний струм.

Відповідно до другого закону Кірхгофа, можна записати для будь-якого моменту часу:

.                    (4.37)

При сталому режимі  iвіл (t) = 0 та uC віл (t) = 0. Тому формула (4.37) матиме наступний вигляд:

.                                               (4.38)

З формул (4.37) та (4.38) для сталого режиму очевидно:

.                                                (4.39)

Звідкіля

.                                                   (4.40)

Враховуючи, що

,

одержуємо з рівняння (4.40) наступне диференційне рівняння:

.                                                 (4.41)

Розв’язуємо диференційне рівняння (4.41) методом поділу змінних:

,   ,            ,

,                                                      (4.42)

де τ = r ⋅ C – стала часу електричного кола; K – постійна інтегрування.

Постійна інтегрування K визначається з початкових умов:

– з (4.42): ;

– з (4.35): .

Остаточно вільна напруга на затискачах електричного кола визначається за формулою:

,                                           (4.43)

а перехідна напруга на затискачах електричного кола – за формулою:

.               (4.44)

Аналіз формули  (4.44) показує, що на синусоїдальну сталу напругу накладається вільна напруга. Початкове значення вільної напруги залежить від фазового співвідношення (співвідношення між початковими фазами Ψ та φ).

Якщо вмикання кола до джерела відбудеться у момент, коли стала напруга проходить через нульове значення, то вільна напруга в колі не виникне. При цьому виконується наступна математична умова:  cos (ψ - φ) (або ).

Якщо вмикання кола до джерела відбудеться у момент, коли стала напруга проходить через максимальне значення, то початкове значення вільної напруги в колі також буде максимальним. Наприклад, вмикання відбулося у момент, коли стала напруга проходила через максимальне негативне значення (рис. 4.6). Початкове значення вільної напруги в колі також буде максимальним та дорівнюватиме амплітуді сталої напруги . При цьому виконується наступна математична умова:   cos (ψ - φ) = 1 (або ψ = φ). 

Рис. 4.6 – Залежності u (t) = f (ωt) при вмиканні до джерела змінної напруги електричного кола з послідовно з’єднаними резистивним та ємнісним 
елементами (при ψ = φ)

Оскільки знак сталої напруги періодично змінюється, а вільна напруга залишається увесь час позитивною, то через час, приблизно рівний половині періоду після підключення електричного кола до джерела, стала й вільна напруги будуть мати однаковий знак. Якщо за цей час вільна напруга зменшиться у незначній мірі (τ >> T), то найбільше значення напруги стане близьким до подвійної амплітуди сталої напруги (). Це явище становить пожежну небезпеку тому, що можливий пробій ізоляції.

Залежність сили струму від часу в електричному колі також визначається фазовими співвідношеннями.

З виразу (4.37) випливає (при t = 0):

,          

       .                                                   (4.45)

Якщо вмикання електричного кола до джерела станеться у момент, коли напруга кола u є максимальною, то початкове значення сили струму буде також максимальним:

.                                                       (4.46)

Порівнюючи початкове значення сили струму з виразом для амплітуди сили сталого струму , робимо висновок, що за малих значень опору r (у порівнянні з величиною Z) початкове значення сили струму може бути у багато разів більшим за амплітуду сили сталого струму, що являє собою пожежну небезпеку.

Вільна складова сили струму:

.                                 (4.47)

Сила перехідного струму у будь-який момент часу:

.                        (4.48)

Видно, що у початковій стадії процесу перехідний струм несинусоїдальний, а синусоїдальним він стає через час приблизно t > (4÷5) ⋅ τ (рис. 4.7). 

Рис. 4.7 – Залежності  i (t) = f (ωt) при  вмиканні до джерела змінної напруги електричного кола з послідовно з’єднаними резистивним та ємнісним елементами (при ψ = φ)

Несинусоїдальність струму являє собою пожежну небезпеку для електротехнічних приладів, чутливих до якості струму живлення.