МОДЕЛЮВАННЯ ДЕЯКИХ ПАРАМЕТРІВ СИСТЕМИ ПРОТИПОЖЕЖНОГО ЗАХИСТУ

3.3. Аналіз особливостей розглянутих задач

Розглянемо особливості задачі (3.6-3.7).

  1. Функція мети , у загальному випадку кусочно-гладка, причому нелінійна на кожній гладкій ділянці. Простір параметрів, у якому визначена функція мети, залежить від числа об'єктів n і має розмірність 2n
.

2. Область припустимих розв’язків  задається у виді однієї нерівності (3.7). Ця нерівність зв'язує всі параметри покриття кіл, що належать до неопуклої, багато зв’язної області припустимих розв’язків [67].

3. У силу нелінійності функції мети і неопуклості області її визначення, задача покриття, що розглянута в роботі, є багатоекстремальною. Екстремуми функції мети можуть знаходитися як усередині області припустимих розв’язків, так і на її границі.

Розглянемо особливості задачі (3.8-3.12).

  1. Кількість нерівностей, що визначають область  припустимих розв’язків (3.9-3.12), дорівнює q+l+1, де q- кількість нерівностей, що описують умови взаємного неперетинання об'єктів  з областями заборони ; l- кількість нерівностей, що описують додаткові технологічні протипожежні вимоги, й одна нерівність, що описує умову розміщення об'єктів  в області .

  2. Функції, що беруть участь у формуванні q+l+1 нерівностей (3.9 - 3.12), завжди нелінійні, у загальному випадку визначаються громіздкими трансцендентними виразами.

  3. Область припустимих розв’язків (3.9 - 3.12) обмежена, неопукла, у загальному випадку незв'язна, кожна компонента її може бути багато-зв’язною.

  4. Функція мети  - час руху, який досліджується на множині шляхів руху
. Розглянемо її особливості більш детально.

Для цього мережу доріг представимо у вигляді графу , де множина вершин V відповідає перехрестям, а множина ребер r - ділянкам доріг між перехрестями. На час руху по дорогах і через перехрестя впливає множина факторів, які перераховані вище, що характеризуються своєю неформалізованістю і які в моделі (3.8 - 3.12) об'єднані в групу технологічних обмежень (3.12). Нехай отримана узагальнена оцінка, що враховує ці фактори, у виді математичного сподівання часу руху  по кожній з ділянок доріг (ребру ) і математичного сподівання часу руху  через кожне перехрестя (вершину ). Помітимо, що вершинам відповідають також тупики й обривки доріг на границі області ( для них вага дорівнює 0).

Для спрощення моделі приймемо, що всі ділянки доріг прямолінійні і зробимо кусочно-лінійну апроксимацію нелінійних ділянок доріг. При цьому утвориться множина  фіктивних перехресть з нульовою вагою .

Розглянемо задачу визначення максимального часу доступу для заданої точки p.

Можливі три випадки:

    1. p збігається з однією з вершин ;

    2. p лежить на одному з ребер r, але не збігається з жодною з вершин;

      3.

    3. p
не збігається з жодною з вершин і не належить жодному з ребер.

Розглянемо спочатку перший випадок. Нехай p збігається з вершиною . Побудуємо множину  шляхів l на графі d з вершин . У загальному випадку шлях l може бути заданий упорядкованим набором вершин графа Г, наприклад , а множину  - можна порахувати. Якщо ж виключити з розгляду шляхи з циклами, то множина шляхів l має деяку потужність N.

Для кожної з вершин  побудуємо множину у , що складається з усіх , які ведуть у вершину . Очевидно, що мінімальний час досягнення вершини  можна визначити за формулою

де F(l)- функція визначення часу руху по шляху l, який обумовлено як сума ваг усіх ребер і вершин, що входять у шлях.

Таким чином, час максимального доступу до вершини  з вершини  можна визначити як

 (3.13)

Очевидно, що час доступу до будь-якої іншої точки, що належить ребрам графа Г, буде менше .

Розглянемо другий випадок, тобто p належить деякому ребру . У цьому випадку визначимо час  руху з p до вершини  і час руху з точки p в вершину .

Час доступу до найбільш віддаленої вершини  визначається за формулою:

 (3.14)

Для випадку, коли p не належить ребрам графа Г і не збігається з жодною з її вершин, визначимо мінімальну відстань між точкою p і точкою , що належить графу Г.

Якщо  збігається з однією з вершин , то час доступу до найбільш віддаленого об'єкта визначається з (3.13) і збільшується на час  руху з точки p в точку .

Якщо ж  належить одному з ребер, то діємо відповідно до формули (3.14), а результат також збільшуємо на .

Таким чином, аналіз особливостей розглянутих у роботі задач показує, що вони відносяться до класу задач нерегулярного розміщення і покриття геометричних об'єктів зі складною системою обмежень.

Розробці математичного, алгоритмічного і програмного забезпечення розглянутих у роботі задач присвячені наступні розділи даної роботи.

© 2004 Академя гражданской защиты Украины