Багато задач курсу фізики, в тому числі висунутих практикою пожежної безпеки, неможливо вирішити без використання диференційного та інтегрального обчислення. Такі задачі часто уявляються складними для курсантів та студентів. При цьому головна складність укладається не в виконанні самих формальних операцій диференцювання та інтегрування. Похідні та інтеграли у таких задачах, звичайно, прості. Але записати такі задачі на мові похідних та інтегралів для курсантів та студентів фаху “Пожежна безпека” досить часто виявляється складно і є для них “каменем спотикання”.
Тому уявляється доцільним навести деякі загальні рекомендації по використанню диференційного та інтегрального числення і на конкретних прикладах роз
’яснити їх застосування. Тобто дати типові послідовності дій, чи типові схеми застосування похідних і інтегралів при вирішенні таких задач. Для закріплення навдені умови подібних задач для самостійного вирішення за допомогою диференцювання та інтегрувння.- 1. Використання диференціального обчислення при вирішенні фізичних
Зі школьного курсу математики відомо, що перша похідна має зміст швидкості змінення функції. Нагадаємо і роз
’яснемо поняття похідної.Якщо у нас є функція 
то при зміні аргумента на малу величину від х до 
функція змінеться від
Тоді, взявши відношення цих прирістів, отримаємо середню швидкість змінення функції на проміжку D х
(1.1)
Якщо ж нам необхідно знати швидкість змінення функції в заданой точці, то треба величину змінення аргумента 
(1.2)
Розглянемо поняття похідної на фізичному прикладі швидкості нерівномірного прямолінійного руху, при якому проминулий тілом шлях
S є деякою функцією часу t:S=f(t) (1.3)
Тоді середня швидкість руху за проміжок часу
t до t +
дорівнює відношенню прирісту шляху від S до S+
до величини цього проміжка часу:
(1.4)
Ця швидкість не може охарактеризувати швидкість переміщення тіла в різних точках інетрвалу шляху . Якщо, наприклад, тіло на початку проміжка переміщувалось дуже швидко, а наприкінці дуже повільно, то середня швидкість цих особливрстей не відіб
(1.5)
Обчислення похідної як межі відношення (1.5) покажемо на прикладі вільного падіння.
Приклад 1. Рівняння руху при вільному падінні запишеться у вигляді: 
Знайти швидкість в будь-який момент
Рішення. Запишемо значення шляху для моментів
t і t+ відповідно:
Знайдемо приріст шляху
Складемо відношення 
і знайдемо його граничне значення при -0
Таким чином,
V=gt – швидкість для будь-якого моменту часу t. При t=3с маємо:
Однак обчислювати всякий раз похідну, як межу відношення нема потреби, тому що існують правила диференціювання, відомі зі шкільного курсу.
Розглянемо приклади використання диференціального числення при вирішенні фізичних задач механіки.
Приклад 2.
Маємо рівняння прямолінійного руху
Знайти середню швидкість руху за проміжок часу від t = 4с до t= 4+D t, покладаючі D t= 2с та 1с.Визначити швидкість в момент часу t = 4с.
Рішення. Середню швидкість будемо шукати як відношення
а) D
t = 2с. Шукаємо Vсер для цього проміжка
б) Шукаємо
Vсер для проміжка D t = 1сxt
= 64,74 м
в) Шукаємо
V для моменту t = 4c, тобто D t = 0
Приклад 3. Пожежний автомобіль масою 3 тони починає рухається прямолінійно за законом х = 1+ t+t2, де х вимірюється в метрах, а t – в секундах. Знайти його кінетичну енергію через 5с після початку руху.
Рішення. Знайдемо швидкість руху автомобіля як похідну від шляху за часом:
Визначимо швидкість в момент часу
t = 5с:
Розрахуємо кінетичну енергію тіла для моменту
t = 5 с:
Приклад 4. Кут j , на який обертається колесо через
tс, дорівнює j = at2 – bt + c, де а,в і с – позитивні сталі. Знайти кутову швидкість руху колеса для будь-якого довільного моменту часу. В який момент часу кутова швидкість стане нульова?Рішення. Для відшукання залежності кутової швидкості від часу необхідно здиференцювати рівняння обертального руху
Для відшукання момента часу, в який кутова швидкість стане нульовою, порівняємо отриманий вираз з нулем:
Приклад 5.
Пожежна драбина довжиною в 10 м одним кінцем притулена до вертикальної стінки, а другим ізперта у підлогу. Нижній кінець відсувається від стіни зі швидкістю 2 м/хвил. З якою швидкістю знижується верхній кінець драбини, коли підвалина її відстоїть від стіни на 6 м?Рішення. Зробимо малюнок для пояснення умов задачі. Згідно з ним вертикальний катет цього прямокутового трекутника зменьшується, а горизонтальний збільшується таким чином, що гіпотенуза (довжина драбини) весь час залишається сталою. Тоді із прямокутового трекутника маємо:
у2 + х2 = 102 (1)
Знайдемо залежність довжини вертикальної сторони від горизонтальної:
(2)
З умов задачі відома швидкість збільшення горизонтальної сторони 
. Змінемо вигляд першої похідної 
таким чином:
(3)
Тоді для шуканої швидкості 
отримаєм:
(4)
Знайдемо для х = 6 м
(5)
(6)
Підстановка (6) в (4) дає:
Знак “–“ показує, що верхній кінець знижується.
Приклад 6. Потяг і повітряна куля починають рухатись в один і той же момент часу з одного пункта. Потяг рухається горизонтально с постійною швидкістю 72 км/год, а куля підіймається вертикально з постійною швидкістю 14,4 км/год. З якою швидкістю вони віддаляються один від одного? На якій відстані вони будуть знаходитися через одну годину?
Рішення. Зробимо малюнок, пояснюючий умови задачі. Швидкість потягу
Vп:
Швидкість кулі
Відстань між потягом і кулею
(1)
Але х
та у є функції часу t. Тому х[м] = 20 [м/с] · t[c]у
[м] = 4 [м/с] · t[c]З урахуванням цього отримаємо:
(2)
Швидкість віддалення кулі і потягу
Куля і потяг віддаляються один від одного з постійною швидкістю 
Відстань між ними через одну годину руху буде відповідно складати
Приклад 7.
Корабель стоїть на якорі в 9 км від найближчої точки берега; від корабля треба послати гінця у табір, який знаходиться в 15 км, якщо рахувати по берегу від точки на березі, найближчої до корабля (табір розташован на березі). Якщо гонець може долати пішки по 5 км/год, а на веслах в човні по 4 км/год, то в якому пункті берега він повинен пристати, щоб потрапити у табір в найменший час?Рішення. Зробимо малюнок, що пояснює умови задачі. Корабель знаходиться в точці А, віддаленой від берега на відстань АВ = 9 км. Табір розташован в точці Д на березі і при цьому відстань його від точки В дорівнює ВД = 15 км. Гонець на човні долає шлях АС зі швидкістю Vч = 4 км/год, а потім рухається зі швидкістю Vп = 5 км/год до табора. Позначимо відстань ВС через х. Тоді шлях, подоланий гінцем дорівнює 
Час, який гонець буде рухатися до табору, дорівнює
Необхідно знайти значення х, при якому час подолання шляху
S буде найменшим. Відшукаємо похідну :
В точці мінімума залежності
t(x), якщо він існує, похідна буде дорівнювати нулю:
Отримуємо х = 12 км.
Таким чином, для того, щоб в найкоротший час досягти табору, гонець повинен висадитися з човна в 3 км від табору.
Наведені нами приклади роз
’яснюють, яким чином умови задачі записати в такому вигляді, щоб можна було застосувати диференціальне числення. Нижче надано декелька задач (з відповідями), які пропонується самостійно вирішити для перевірки засвоєння.
Задача 1.
Тіло рухається в вільному падінні. Знайти середню швидкість руху за проміжок часу від t = 5 с до (t + D t) с, покладаючи D t = 1 с; 0,1 с; 0,05 с; 0,001с. Знайти швидкість падаючого тіла наприкінці 5-ої секунди та наприкінці 10-ої секунди. Отримати формулу для швидкості падаючого тіла для будь-якого моменту часу.Відповідь:
Формула для швидкості:
V = gtЗадача 2.
Рівняння обертання обода задано у вигляді залежності кута повороту від часу j = t2 + 3t – 5. Знайти кутову швидкість при t = 5 с.Відповідь: w = 13 рад/с.
Задача 3.
Колесо обертається таким чином, що кут повороту пропорційний квадрату часу. Перший оберт був зроблений колесом за 8 с. Знайти кутову швидкість w через 32 с після початку руху.Відповідь: w
= 2 p рад/с.Задача 4.
Точка рухається прямолінійно. Рівняння її руху має вигляд
де шлях S висловлен в метрах, а час t в секундах. Знайти прискорення для будь-якого моменту часу, а також прискорення наприкінці другої секунди.
Відповідь: 
Задача 5.
Баржу, рівень палуби якої на 4 м нижче рівня пристані, підтягують до неї за допомогою канату, який намотують на ворот зі швидкістю 2 м/с. З яким прискоренням рухається баржа у момент, коли вона віддалена від пристані на 8 м( по горизонталі).Відповідь: 
Задача 6.
Кінь рухається по колу зі швидкістю 20 км/год. У центрі кола знаходиться ліхтар, а по дотичній до кола в точці, відкіля починає кінь бігти, знаходиться огорожа, З яко. швидкістю переміщується тінь коня вздовж огорожі в момент, коли він подолає 1/8 кола?Відповідь: 40 км/год.
- 2. Використання інтегрального числення у вирішенні задач фізики.
Інтегруванні є операцією, оберненою відносно диференціювання. Воно зводиться до пошуку першообразної функції F (x), котра, як відомо зі шкільного курса математики, при диференцюванні перетворюється в підінтегральну функцію f(x):
(2.1)
Легко бачити, що при такому визначенні першообразної функції
F(x) рівняння (2.1) не порушиться, якщо до функції F (x) додати сталу величину С. Таким чином, всілякій функції f(x) відповідає незчисленна безліч першообразних, які відрізняються одна від одної тільки сталою величиною. Тому операція інтегрування зводиться до пошуку першообразної функції, визначаємою з точністю до сталої величини.
(2.2)
Пошук першообразної функції, чи невизначенного інтегралу, є формальна операція. Вона лежить в основі
обчислення визначеного інтегралу, за допомогою якого вирішується багато задач математики, фізики, механіки та інших галузей науки, техніки. До таких задач можна віднести вирахування площин, довжин дуг, об’ємов тіл, площини поверхні, роботи змінної сили, моментів інерції тіл та багато інших.
Типовий підхід до вирахувння якої-небудь фізичної величини (або функції) за допомогою визначеного інтеграла уявляє собою встановлення закономірностей її поведінки для малого відрізку незалежної змінної (шляху, часу, об
'єму і таке інше). Потім, щоб поширити отриманий результат на всю шукаєму величину (або функцію), треба підсумувати її значення на усіх малих відрізках. Результат буде тим точнішим, чим на більшу кількість відрізків був поділений заданий інтервал, тобто чим меншими були вибрані елементарні відрізки. Межою такої суми при прямуванні до нуля довжини елементарних відрізків і є визначений інтеграл.Типову схему застосування визначеного інтегралу розглянемо на прикладі обчислення роботи змінної сили. Припустимо, що тіло рухається прямолінійно під впливом змінної сили, Залежність цієї сили Р від шляху х наведена на мал. 2.1. Треба вирахувати роботу на ділянці від х = а до х =
b. Розіб’ємо ділянку на малі відрізки: D х1 = х1 – а, D х2 = х2 – х1 …………. D хn = b – хn-1 . Тоді для кожного малого відрізку D хі можна вважати силу Рі сталою, а її робота на цьому малому відрізку буде дорівнювати:D
Аі = Рі D хі (2.3)Якщо ми вважаємо силу Рі сталою, то тим припущенням ми фактично замін.ємо надану дійсну залежність
Р(х) на ступенькову лінію, яка відтворює дійсну залежність тільки приблизно. Для вирахування усієї роботи на ділянці [a,b] необхідно просумувати виконані елементарні роботи на усіх відрізках D х:
(2.4)
В цьому виразі значення роботи обчислено приблизно. Така сума, яка має назву “інтегральна”, менше шукаємої роботи в разі вибору ординати з лівого краю інтервалу і більше при виборі ординати з правого краю. Але, якщо зробити граничний перехід, спрямувати
n ® ¥ та D х ® 0, то різниця між сумами щезне, а стриманий визначений інтеграл і буде відповідати шукаємої нами роботи.
(2.5)
Вирахування визначеного інтеграла зводиться до находження першообразної функції і пошуку різниці її значень при підстанові верхньої, а потім нижньої меж інтегралу:
(2.6)
Розглянемо на приклади фізичних задач, рішення яких зводиться до обчислення визначених інтегралів.
Приклад 1.
Пожежний автомобіль рухається зі швидкістю
Знайти шлях, подолений ним за перші 10 сек та 20 сек.
Рішення. Шлях дорівнює добутку швидкості руху на проміжок часу тільки при постійній швидкості. Тому для змінної швидкості таке співвідношення буде справедливо тільки для нескінчено малого проміжка часу:
На цьому проміжку часу ми змінну швидкість приблизно замінюємо постійною. Із вищенаведеного зрозуміло, що задача відшукання шляху зводиться до вирахування визначеного інтегралу.
Відповідно до цієї формулі знайдемо
S1 та S2:
Приклад 2. Пожежний автомобіль починає рухатися прямолінійно зі швидкістю, пропорційною квадрату часу. Наприкінці п
Рішення. Знайдемо залежність швидкості від часу. В умовах задачі позначено
де
k – невідомий коефіцієнт. Знайдемо його з умови V = 0,1 м/с при t = 5 c.Обчислимо шлях за перші десять секунд:
Шлях за проміжок від 10-ої до 20-ої секунди відповідно дорівнює:
Приклад 3. Робота розтягування пружини на 1 см дорівнює 20 Дж. На яку віддаль можна розтягти цю пружину, виконавши роботу в
100 Дж?Рішення. Відомо, що сила розтягування пружини відповідно до закона Гука пропорційна розміру розтягу:
F = kx
Робота цієї змінної сили на шляху від 0 до 1 см дорівнює 20 Дж. Тому
З цього співвідношення знайдемо коефіцієнт жорсткості пружини
k:
Знайдемо віддаль розтягування при роботі в 100 Дж.
Приклад 4. Знайти силу взаємодії півкільця радіуса
R, масою М з матеріальною точкою масой m, яка знаходиться у центрі півкільця.Рішення. Зробимо відповідний малюнок 2.2. Відзначемо малу ділянку півкільця D
l. Сила взаємодії цієї ділянки, маючей масу D М, з матеріальною точкою О буде визначатися законом тяжіння Ньютона:
(1)
Із простих міркувань маса цієї малої ділянки дорівнює:
(2)
де довжина малої ділянки D
l може бути вирахувана через радіус і кут:
D l = R D a (3)
Підставляємо (3) та (2) в (1) і отримуємо:
(4)
Слід врахувати при підсумуванні цих сил, що горизонтальні проекції D
fx взаємно компенсуються для правої та лівої чверті півкільця. Тому треба сумувати тільки вертикальні проекції, а рівнодіюча буде спрямована вздовж осі оу:
(5)
Для відшукання повного значення цієї сили треба вирахувати визначений інтеграл в межах від О до p
:Спрямована ця сила вздовж осі ОУ
.
Приклад 5. Пожежний циліндричний резервуар височиною 3 м і радіусом 1 м заповнений водою. Визначити роботу, яку необхідно витратити, щоб вичерпати всю воду з цього резервуара.
Рішення. Для пояснення умов задачі зробимо малюнок.
R = 1м, Н = 3 м. Виділимо на висоті у тонкий шар води (диск товщиною dу). Для того, щоб цей тонкий шар вичерпати, треба його підняти до верхнього краю резервуара, тобто на висоту Н – у. Робота при цьому звершується силою тяжіння:dA = g(H-y) dm (1)
Маса цього елементарного шару води дорівнює:
dm = r dV (2)
де r
- щільність води (1г/см3), а dV - відповідно об’єм:
dV = p R2
dу (3)Підставляючи (3) і (2) в (1) отримаємо значення для роботи:
dA = r p R2g(H – y)dy (4)
Повну роботу вичерпання знайдемо інтегруванням виразу (4) в межах від
0 до Н:
(5)
Далі нам залишається тільки підставити в (5) числові значення з умов задачі (r
= 103 кг/м3):
Приклад 6.
. Товщина пластинки дорівнює d = 0,5 см.
Рішення. Зробимо малюнок, що пояснює умови задачі. Кінетична енергія обертання тіла дорівнює:
(1)
де І – момент інерції обертання тіла відносно заданої осі. Легко бачити, що задача зводиться до пошуку моменту інерції цієї пластинки.
Виділимо для досягнення вищеназваної мети тонкий шар матеріалу
dx на відстані х від осі обертання ОО¢ . Момент енерції цього шару з простих міркувань дорівнює:dI = x2dm, (2)
де
dm – маса цього елементарного шару в свою чергу буде:dm = r dV = r × a × d × dx (3)
Підставляючи (3) в (2) отримуємо момент інерції для цього тонкого шару:
dІ =
r × a × d× х2× dx (4)Знаходимо повний момент інерції інтегруванням:
(5)
Підставляючи (5) в (1) знаходимо шукану кінетичну енергію цієї задачі.
Густина міді r
= 8 × 103 кг/м3.Відповідь:
W = 0,08 Дж.Усі розібрані нами приклади показують, яким чином умови подібних задач перетворюються до визначених інтегралів. Для перевірки засвоєння наведемо декілька задач, які пропонуються для самостійного вирішення.
Задача 1.
Знайти шлях, подоланий вільно падаючим тілом, за перші п’ять секунд руху.Відповідь:
S = 122,6 мЗадача 2.
При розтягуванні пружини на 4 см виконана робота в 100 Дж. Визначити, яка робота буде виконана при розтягуванні пружини на 10 см.Відповідь: А = 625 Дж.
Задача 3.
Пожежний резервуар, який уявляє собою півсферу радіусом R = 0,6 м заповнен водою. Визначити роботу повної відкачки цього резервуара.Відповідь:
А = 1000 Дж.Задача 4. Трикутна пластина, підмурок якої а = 40 см, а височина h = 30 см, обертається навколо підмурка зі сталою кутовою швидкістю 
Знайти кінетичну енергію пластинки, якщо товщина її d = 0,2 см, а густина матеріалу, з якого вона зроблена r = 2,2 г/см3.
Відповідь: 
Задача 5.
Швидкість гармонійного коливального руху по осі абцис навколо початку координат дається формулою:
де
t – час, Т - період, j 0 – початкова фаза. Знайти положення точки в момент часу t2, якщо відомо, що в момент часу t1 вона знаходилась в точці х = х1.Відповідь: 