|
|
В останні роки як засоби гасіння пожеж застосовують порошкові склади на основі неорганічних солей лужних металів. Незважаючи на високу вартість, складність в експлуатації і зберіганні, ці сполуки, завдяки своїм властивостям, знаходять усе більш широке застосування. Порошкові сполуки є, зокрема, єдиним засобом гасіння пожеж лужних металів, алюмінійорганічних та інших металоорганічних з'єднань. Вогнегасні порошки у комбінації з іншими засобами гасіння (наприклад, з повітряно-механічною піною) стали застосовувати і для ліквідації великих пожеж нафтопродуктів. Застосування порошкової технології пожежогасіння має певні переваги: порошки і продукти їхнього розкладання не є небезпечними для здоров'я людини; як правило, вони не впливають корозійно на метали; вони захищають пожежних від теплової радіації, яка надходить від вогнища.
Разом з тим вогнегасні порошки не позбавлені недоліків. Відомо, що для досягнення найбільшого вогнегасного ефекту частки порошку повинні бути дуже дрібними, однак це збільшує їхнє зчеплення і схильність до “злежуваності” (комкування), що ускладнює їх збереження й особливо подачу порошку у вогнище.
Тобто головною є умова - вогнегасні порошки не тільки повинні ефективно гасити полум'я, але і тривалий час зберігати свої властивості. Разом з тим, як і багато інших високодисперсних матеріалів, при тривалому збереженні вогнегасні порошки піддаються різним змінам, що погіршують їхню якість. Найбільш неприємним є злежування порошків, що викликає міцне зчеплення часток, комкування і, як наслідок, неможливість їх транспортувати.
Основна причина, що викликає злежування, це вплив на порошки вологи і температури навколишнього середовища. У процесі поглинання порошком вологи з повітря і наступного розчинення у воді часток порошку відбувається утворення насичених розчинів твердої фази. При подальшому збільшенні вологи розчин стає перенасиченим і з нього в зоні контакту часток випадають кристали вихідної твердої фази. Потім відбувається зрощення кристалів у результаті утворення фазових контактів. Для кристалічних порошків невеликої твердості, до яких відносяться вогнегасні, важливу роль може відігравати також пластична деформація часток. У тому випадку утворення фазових контактів із точкових протікає під дією підвищених температур і стискальних зусиль, наприклад, під дією власної ваги.
Формування кристалізаційних контактів починається з виникнення контактів у зазорі між частками, що зростаються, і зв'язано з міграцією молекулярних агрегатів, утворених молекулами розчиненої речовини. Мігрують ці агрегати дифузією, тобто досить повільно. Тому після зближення кристалики повинні утримуватися на цій відстані хоча б протягом часу, необхідного для виникнення перших молекулярних зв'язків між молекулярними агрегатами. У залежності від відстані, на якій відбувається фіксація часток, тобто утворення коагуляційної структури, розрізняють два види коагуляції - далеку і ближню. Утворення фазових контактів можливо лише в стані ближньої коагуляції, що відповідає більшій кількості роботи, витраченої на зближення часток.
Середня міцність елементарного контакту (Fc) між окремими частками пов'язана з загальною міцністю порошкової структури, вираженої через граничну напругу зрушення:
Pm = Fc / (d 2 r VS), (3.1)
де d — середній діаметр частки;
r — щільність часток порошку;
VS - питомий (який займає один грам дисперсної фази) об’єм структури.
Вираз (3.1) характеризує залежність міцності структури, чи злежуваності порошку що утворилася від дисперсності й об’єму твердої фази, тобто ступеня ущільнення. При даному об’ємі твердої фази міцність структури (Рт) пропорційна квадрату дисперсності (1 / d2), тобто схильність до злежуваності збільшується зі зменшенням розміру часток.
На з лежуваність порошку впливає не тільки розмір часток, але також їхня однорідність і характер поверхні. При ущільненні порошку з різнорідними частками дрібні частки, займаючи пори між великими, збільшують число одиничних контактів і обумовлюють більш високу здатність до злежування. Таким чином, вогнегасна ефективність порошків залежить не тільки від їхньої інгібіруючої здатності і дисперсності, але й від умов збереження і транспортування.
Ці умови характеризуються експлуатаційними властивостями вогнегасних порошків, найважливішими з яких, крім злежуваності, є здатність поглинати вологу повітря, плинність (здатність транспортуватися по трубопроводах і шлангах), ущільненість (здатність ущільнюватися під навантаженням), стійкість до вібрації (здатність зберігати властивості після впливу регламентованої усадки), насипна маса.
До експлуатаційних властивостей вогнегасних порошків відносяться також їхня сумісність з пінами, електропровідність, корозійна активність, токсичність. Порошки протягом тривалого часу не повинні зволожуватися і піддаватися злежуванню як при вільному статичному збереженні, так і в умовах вібрації і під масовим навантаженням; повинні мати добру плинність, бути малотоксичними, неелектропровідними, не викликати корозії устаткування.
Існує кілька методів боротьби зі злежуванням, але усі вони в принципі зводяться або до зниження вмісту вологи в порошку, або до зменшення числа і площі контактів часток. До цих методів відносяться змільчення часток та видалення вологи за допомогою сушіння, упакування порошків у водонепроникну тару, застосування водовідштовхувальних (гідрофобізуючих) і водовбирних засобів, а також добавок, що поліпшують плинність. Відповідно до технічних умов, вміст вологи в порошках не повинен перевищувати 0,5%. Для упакування порошкових сполук використовують поліетиленові мішки, вкладені в ламіновані мішки.
Для гідрофобізації мінеральних солей, що складають основу вогнегасних порошків, раніш використовували стеарати металів. Однак ефект гідрофобізації за допомогою цих добавок недостатній, особливо для порошків з підвищеною дисперсністю. Крім того, стеарати металів руйнують піну, що перешкоджає застосуванню їх у комбінації з пінами.
Бурхливий розвиток хімії кремнійорганічних з'єднань значно розширив номенклатуру гідрофобізуючих добавок, у якості яких стали використовувати силіконові і фторсиліконові олії, сілани, сілоксани й ін. Завдяки застосуванню кремнійорганічних добавок, значно поліпшується плинність вогнегасних порошків, що дає можливість подавати їх на значні відстані по шлангах. Найкращі результати були досягнуті при використанні високодисперсного двоокису кремнію (питома площа поверхні 300 м2/г), модифікованої діметилдіхлорсиланом. Подібні продукти одержали назву “аеросил”. Для порошків найбільш прийнятний аеросил марки АМ-1-300, виготовлений по ТУ 6-18-185-79. Дія аеросилу полягає в тім, що його субмікронні частки, розташовуючись між більш великими частками порошку, створюють перешкоди для їхнього зближення на критичну відстань для ближньої коагуляції і запобігають утворенню фазових кристалічних контактів.
Аеросил , як і інші сепаративні засоби, що опудрюють, забезпечуючи рухливість і плинність порошків і перешкоджаючи їхньому злежуванню і комкуванню, тільки частково протидіє поглинанню вологи, тому що не утворює на поверхні часток захисної плівки. Тому застосування аеросилу найбільш дієве для порошків на малогігроскопічний основі, наприклад, для порошків на основі бікарбонату натрію.
Схильність порошків до злежуваності залежить також від форми часток, структури кристалів і т.п. Порошок, що складається з правильно утворених кристалів, є кращим вогнегасником, ніж порошок з неправильними (асиметричними) за формою кристалами. Перші характеризуються здатністю легко розсипатися й утворювати хмару рівномірної щільності. Порошки, що складаються з кристалів неправильної чи форми з порушеними кристалічними ґратами, мають більш високу схильність до злежуваності. При цьому утворюються конгломерати часток, що приводять до комкування порошку, і погіршується його плинність. Тому технологія готування вогнегасних порошків досить складна й обумовлює порівняно високу їхню вартість.
Поліпшити експлуатаційні і, як наслідок, вогнегасні властивості порошків можна не тільки введенням спеціальних добавок, але й удосконаленням технології їхнього виготовлення. Значно кращі умови для рівномірного здрібнювання порошків до необхідного ступеня дисперсності і розподілу гідрофобізуючих добавок досягаються при заміні використовуваних у даний час обертових кульових млинів більш прогресивними помольними апаратами: вібромлинами, струминними млинами, дезінтеграторами й апаратами з вихровим шаром.
Далі розглянемо одну з прогресивних технологій здрібнення вогнегасного порошку за допомогою спеціального прес-екструдера.
3.2 Опис екструдера для здрібнювання вогнегасного порошку
Прес-екструдер для здрібнювання вогнегасного порошку складається з робочої камери і розміщених у ній двох паралельно розташованих і взаємно сполучених шнекових валів. Вали включають у себе шнеки і групи насадок за формою у вигляді трикутників Релло, зміщених одна відносно іншої з утворенням гвинтового каналу. При цьому робоча камера містить послідовно розташовані секції з непроникною стінкою і зеєрні секції, що чергуються з ними.
Схема екструдера пояснюється кресленнями, де на рис. 3.1 надано вигляд у подовжньому перетині пресу, а на рис. 3.2 - його вигляд А-А у поперечному перетині через насадки, що здрібнюють (трикутники Релло).
Рис. 3.1 - Подовжній перетин екструдера для здрібнювання
порошку
Пресс для роздрібнювання порошку містить робочу камеру , розділену на секції, що включає в себе завантажувальну секцію 1 із широким завантажувальним вікном 2, сполученим із зйомною завантажувальною лійкою 3, секції 4, 5, 6 із непроникною стінкою і зеєрні секції 7, 8. Ці секції розташовані в наступній послідовності: завантажувальна секція 1, секції 4, 5 із непроникною стінкою, зеєрна секція 7, секція 6 із непроникною стінкою, зеєрна секція 8.
Рис. 3.2 - Поперечний перетин насадок - трикутників Релло
На виході робоча камера оснащена матрицею 9, призначеною для виводу з робочої камери готового сухого порошку. Секції робочої камери уніфіковані за формою, поперечними розмірами і довжиною. При цьому вони виконані порожнистими і сполучені одна з іншою торцями, так що разом їхні порожнини утворюють порожнину 10 робочої камери. Довжини зеєрних секцій 7, 8 однакова. Довжина секцій 4, 5, 6 із непроникною стінкою дорівнює довжині завантажувальної секції 1. При цьому вона в 1,17 рази перевищує довжину секцій 7, 8. Стінка зеєрних секцій 7, 8 утворена з зеєрних колосників (на кресленні не показані), розташованих на певному віддалення один від одного. Кожна секція 4, 5, 6 із непроникною стінкою оснащена резисторним електронагрівальним елементом 11, розташованим навколо її стінки з зовнішнього боку. Всі електронагрівальні елементи 11 підключені до зовнішнього регульованого джерела електроенергії (на кресленні не показане). До керуючого входу цього джерела електроенергії підключено термодатчик 12, виконаний, наприклад, у вигляді термопари. Термодатчик 12 установлений на кінцевій ділянці стінки зеєрної секції 7 поблизу торця секції 6 із непроникною стінкою.
У порожнині 10 робочої камери розміщені два прямих збірних шнекові вали з однаковим напрямком обертання. Ці вали розташовані паралельно і сполучені один з одним. Кожний шнековий вал містить у собі привідний вал 13, а також жорстко закріплені на ньому десять шнеків 14...23 і чотири групи 24...27 роздрібнюючих насадок. Ці шнеки і групи насадок встановлені в наступній послідовності: шнеки 14, 15; група 24 роздрібнюючих насадок; шнеки 16, 17; група 25 роздрібнюючих насадок; шнеки 18, 19; група 26 роздрібнюючих насадок; шнек 20; група 27 роздрібнюючих насадок; шнеки 21, 22, 23. Привідний вал 13 кінематично пов'язаний через роздвоювач із редукторним елементоприводом (на кресленні не показані). Шнеки 14. . . 23 мають однаковий напрямок витків, однаковий діаметр і постійний крок витків. Для того, щоб на всьому шляху просування порошку, що переробляється, уздовж порожнини 10 робочої камери аж до матриці 9 напірне зусилля, що діє на цей матеріал, було постійним за величиною, кожний наступний шнек 15. . . 23, крім шнеків 16, 17, виконаний із меншим кроком витків, ніж попередній.
Насадки, що здрібнюють, складають групи 24...27 насадок і виконані в такій формі, що в перетині, перпендикулярному до осі симетрії валів, вони мають вигляд рівностороннього трикутника з круглим вирізом у центральній частині, що має дугоподібні сторони (трикутники Релло). Кожні дві насадки, що роздрібнюють, мають форму трикутників Релло і розташовані в одній площині, установлені із забезпеченням постійного контакту. Насадки кожного шнекового вала, що роздрібнюють, зміщені одна відносно одної на кут, рівний 5° , з утворенням гвинтового каналу, напрямок якого в групах 24, 25, 26 роздрібнюючих насадок, збігається з напрямком витків шнеків 14...23, а в групі 27 роздрібнюючих насадок, протилежний напрямку витків цих шнеків. Групи 24, 25 складаються з п'ятьох роздрібнюючих насадок, кожна і розташовані відповідно в секції 4 і секції 5 із непроникною стінкою. Групи 26, 27 роздрібнюючих насадок, складаються відповідно з чотирьох і трьох насадок, що роздрібнюють, і розташовані усередині секції 6 із непроникною стінкою.
Тепловий режим усередині зеєрної секції 7 підтримується на оптимальному рівні за допомогою термодатчика 12, що реєструє температуру стінки. За сигналами цього термодатчика регулюється кількість енергії, яка підводиться до електронагрівальних елементів 11 від зовнішнього регульованого джерела електроенергії. Після обробки екструдером, наприклад, порошку ПС-1 забезпечується такий його склад, що має і ефективні інгібіруючі властивості. Його щільність 0,7—0,9 кг/л, він складається з Na2С3 (більше 90%) і добавок, що перешкоджають злежуванню (2% стеаратів металів, 0,5% стеаринової кислоти і 1% графіту). При цьому вологість порошку не перевищує 0,5% , а середній розмір часток порошку становить 0,11— 0,45 мм. Це значно більше, ніж для порошків аналогічного складу, що застосовуються за рубежем, що знижує його вогнегасну здатність.
Однак склад ПС-1 розробляється для гасіння металів і такий ступінь дисперсності є найбільш зручним для цієї мети. Виготовлений вогнегасний склад ПСБ являє собою дрібний сипучий порошок білого кольору із сірим чи рожевим відтінком (розмір часток 0,12—0,01 мм). Насипна щільність - 0,9 -1,2 г/см3 (неущільненого). Вологість порошку не перевищує 0,5%.
До позитивних якостей розглянутого екструдера слід віднести його високу продуктивність та спроможність досягати однаковості у розмірах часток вогнегасного порошку. Такий помол досягається завдяки використанню кулачків для здрібнювання у вигляді трикутників Релло (рис.3.3). Тому далі розглянемо більш детально схему синхронного обертання двох кулачків, які забезпечують постійний точковий дотик.
3.3 Опис фігури постійної ширини як основи екструдера для здрібнення вогнегасного порошку
При проектуванні шнекових пресів для роздрібнення вогнегасного порошку виникає задача профілювання пари насадок, кожна з яких має форму фігури постійної ширини - криволінійного трикутника Релло. При цьому мається на увазі, що пара насадок обертається синхронно (тобто в один і той же бік). Необхідно скласти алгоритм геометричного моделювання обертання пари трикутників Релло так, щоб в процесі обертання здійснювався лише точковий дотик.
Рис. 3.3 - Трикутник Релло
Нагадаємо, що фігурою постійної ширини називається опукла фігура, для якої є однаковими відстані між довільними парами опорних (тобто дотичних до контуру) паралельних прямих.
Існує безліч фігур постійної ширини H, відмінних від кола з діаметром H. Найпростішою з фігур постійної ширини є трикутник Релло. Він утворений у результаті перетину трьох кругів радіуса H, центри яких розташовано у вершинах A, B i C рівностороннього трикутника зі сторонами H (рис.3.3).
Далі розглянуто метод опису трикутника Релло рівнянням у вигляді F(x, y) = 0. Для цього використовувалися як традиційні (бінарні) R-кон’юнкції, так і запропоновані тримісні R-кон’юнкції.
Нехай радіус кола, описаного навколо трикутника Релло, дорівнює a. Тоді легко переконатися у тому, що три кола, які складають периметр трикутника Релло, мають рівняння6
 ;
 ; (
3.2)
 .
Опис трикутника Релло - як результату перетину трьох кругів - можна здійснити, двічі застосувавши R-кон’юнкцію вигляду:
 .
Але ця R-операція є двомісною, адже вона залежить від двох величин u i v. Бінарний характер R-операцій сприяє нерівнозначному входженню компонентів опису у результуючу формулу. Дійсно, для R-кон’юнкції трьох величин u, v і w маємо вираз:
 . (3
.3)
Недолік формули ( 3.3) виявляється у “несиметричному” входженні рівнозначних за смислом параметрів u, v і w. Крім того, на вигляд аналітичного виразу впливає і послідовність дій з обраними парами аргументів.
Приклад 1. Послідовність операцій (u Ù v) Ù w дає перший варіант рівняння трикутника Релло (тут і далі радіус описаного кола а = 1):
 . (
3.4)
Приклад 2. Послідовність операцій (v Ù w) Ù u дає другий варіант рівняння трикутника Релло
 . (
3.5).
Приклад 3. Послідовність операцій (u Ù w) Ù v дає третій варіант рівняння трикутника Релло
 . (
3.6)
Крім того, середнє арифметичне значення виразів, що містяться в лівих частинах рівнянь (4) - (6), дає можливість одержати “майже” симетричний опис трикутника Релло відносно входження величин u, v i w.
Приклад 4. Послідовність операцій
[((u Ù v) Ù w) + ( (v Ù w) Ù u ) + ((u Ù w) Ù v)] /3
дає четвертий варіант рівняння трикутника Релло:
 .(
3.7)
Наведені приклади неоднозначного опису трикутника Релло ілюструють недоліки опису трикомпонентних об’єктів за допомогою бінарної (двомісної) R-кон’юнкції.
Усунути зазначені недоліки в роботі пропонується за допомогою тримісних R-операцій.
Перш ніж визначити тримісну R-кон’юнкцію, нагадаємо, яким чином можна одержати бінарні R-кон’юнкцію та R-диз’юнкцію  .
В роботі [ 6] показано, що u Ù v = min(u, v) i u Ú v = max(u, v). Легко переконатися у тому, що виконуються співвідношення:
uv = min(u, v) max(u, v);
u + v = min(u, v) + max(u, v).
Тоді за теоремою Вієта можна скласти квадратне рівняння:
T2 - (u + v) T + u v = 0. ( 3.8)
Корені квадратного рівняння ( 3.8) визначаються формулами  i  . Звідси маємо бінарні операції R-кон’юнкції та R-диз’юнкції.
За аналогією можна ввести і тримісні R-операції. Позначимо через min(u, v, w), max(u, v, w) та mid(u, v, w) відповідно мінімальне, максимальне та середнє за величиною серед чисел u, v та w. Знайдемо формули у вигляді функції трьох змінних, за якими можна обчислювати значення min, max та mid.
Легко переконатися у тому, що виконуються наступні тотожності:
min(u, v, w) + mid(u, v, w) + max(u, v, w) = u + v + w;
min(u, v, w) mid(u, v, w) + min(u, v, w) max(u, v, w) +
+ mid(u, v, w) max(u, v, w) = u v + uw + vw; ( 3.9)
min(u, v, w) mid(u, v, w) max(u, v, w) = u v w.
Тому за теоремою Вієта величини min(u, v, w), max(u, v, w) та mid(u, v, w) можна вважати мінімальним, максимальним та середнім за величиною коренями кубічного рівняння:
T3 - (u + v + w) T2 + (u v + uw + vw) T - u v w = 0. ( 3.10)
Зробимо заміну T = H + (u + v + w) / 3. Тоді рівняння ( 3.10) набуде вигляду:
(3 H + u + v - 2w)( 3 H + u + w - 2v)( 3 H + v + w - 2u) = 0 ( 3.11)
або
H3 + p H + q = 0, ( 3.12)
де p = (uv + uw + vw - u2 - v2 - w2) / 3
q = (2u - v - w)(2v - u - w)(2w - u - v) / 27.
Позначимо через S = - p / 27, тобто
і через a = arccos(- q / (2 S)), тобто
 .
В результаті маємо вирази для обчислення коренів кубічного рівняння ( 3.10):
max = 2 S1/3 cos(a / 3) + (u + v + w) / 3;
mid = 2 S1/3 cos((a +4p ) / 3) + (u + v + w) / 3; ( 3.13)
min = 2 S1/3 cos((a +2p ) / 3) + (u + v + w) / 3.
Або
;
;
 .
Тримісну R-операцію mid, яка дозволяє визначати середнє за величиною серед трьох чисел, пропонується назвати R-мід’юнкцією.
Приклад 5.
 ;
 ;
 .
Приклад 6. 
Звідси маємо основні твердження роботи.
Твердження 1. Опис тримісної R-кон’юнкції має вигляд:
 (
3.14)
Застосування тримісної операції R-кон’юнкції ( 3.14) дає рівняння трикутника Релло u(x, y) v(x, y) w(x, y) = 0.
Твердження 2. Нехай радіус кола, яке описано навколо трикутника Релло, дорівнює a, і полюс трикутника збігається з початком координат. Якщо трикутник Релло повернути проти напряму стрілки годинника навколо полюса на кут a , то його рівняння матиме вид:
.(3.15)
Приклад 8. При a = 1 і a = 0 маємо
 .
Приклад 9. При a = 1 і a = p /6 маємо
 .
Для перевірки одержаної формули було складено програму мовою Maple V. На рис. 3.4 наведено програму побудови трикутника Релло та результат її виконання.
> restart: with(plots):
> a := 1: alpha := Pi/12:
> f :=
2*a^2-y^2-x^2-2*a*sqrt(x^2+y^2)*cos(Pi/3-
arccos((x^3*cos(3*alpha)+3*y*x^2*sin(3*alpha)-
3*x*y^2*cos(3*alpha)-y^3*sin(3*alpha))/
sqrt(y^6+3*x^2*y^4+3*x^4*y^2+x^6))/3):
> f:= simplify(f);
> implicitplot(f(x,y),x=-a..a,y=-a..a,
scaling=CONSTRAINED, thickness=3, grid=[25,25]);
Рис. 3.4 - Програма побудови трикутника Релло
3.4 Візуалізація процесу синхронного обертання пари насадок екструдера у вигляді трикутників Релло
Теоретичною основою алгоритму синхронного обертання пари насадок екструдера у вигляді двох трикутників Релло є обкатка трикутника Релло за законом обертового переносу.
Під обертовим переносом на відстань R трикутника Релло Â 1 відносно іншого трикутника Релло Â 2 будемо розуміти переміщення полюса трикутника Â 1 по колу радіуса R з центром в полюсі трикутника Â 2 так, що кожний трикутник сім’ї {Â 1} буде результатом паралельного переносу трикутника Â 2.
Твердження . В результаті обертового переносу трикутника Релло Â 1 на відстань R = a Ö ` 3 буде утворено новий трикутник Â 1.
На рис. 3.5 наведено зображення обертового переносу трикутника Релло в залежності від “дискретності” окремих фаз руху.
Рис. 3.5 - Обертовий перенос трикутника Релло
Твердження. Якщо позначити праву частину рівняння
 (3.1
6)
(що є описом трикутника Релло) як F(X, Y) = 0, то маємо рівняння:
 (3.1
7)
сім’ї трикутників Релло, підпорядкованих обертовому переносу. Тут j - полярний кут полюса трикутників {Â 1}.
Твердження. При обертовому переносі двох трикутників Релло (4) Â 1 і Â 2 на відстань R = a Ö ` 3 між ними постійно буде здійснюватися постійний точковий дотик (рис. 3.6).
.
|
|
|
|
Рис.3.6 - При обертовому переносі
здійснюється точковий контакт |
Рис. 3.7 - Синхронне
обертання
двох трикутників |
На практиці обертовий перенос дозволяє реалізувати синхронне обертання (тобто в один і той же бік) двох однакових трикутників Релло із забезпеченням між ними постійного точкового контакту.
Позначимо через F(x, y, a ) ліву частину рівняння трикутника Релло (3.15).
Твердження . Опис синхронного обертання двох однакових трикутників Релло із забезпеченням між ними постійного точкового контакту можна здійснити за допомогою виразів:
 ;  , (3.1
8)
де значення кута a в цих виразах повинно бути однаковими.
На рис. 3.8 наведено приклади зображення окремих фаз синхронного обертання пари трикутників Релло.
|
> restart:
> with(plots): with(plottools):
> a:=1: # масштабний співмножник
> f := (x,y,alpha) ->
2*a^2-y^2-x^2-2*a*sqrt(x^2+y^2)*cos(Pi/3-
arccos((x^3*cos(3*alpha)+3*y*x^2*sin(3*alpha)-
3*x*y^2*cos(3*alpha)-y^3*sin(3*alpha))/
sqrt(y^6+3*x^2*y^4+3*x^4*y^2+x^6))/3):
> dd:=evalf(a*(1.+sqrt(2)/2.)/2.):
> c1 := circle([-dd,0], 0.5, color=red):
> c2 := circle([dd,0], 0.5, color=red):
> c11 := circle([-dd,0], 0.05,thickness=3 ):
> c22 := circle([dd,0], 0.05,thickness=3 ):
> af := arccos(dd):
> a1 := arc([-dd,0], 1., af..2*Pi-af, color=red):
> a2 := arc([dd,0], 1., Pi-af..-Pi+af, color=red):
> for i from 1 to 12 do
> alpha := i*Pi/20:
> G1 := implicitplot(f(x-dd,y,alpha),x=-2..2,
y=-1..1, scaling=CONSTRAINED,
thickness=3,numpoints=500):
> G2 := implicitplot(f(x+dd,y,alpha),x=-2..2,
y=-1..1, scaling=CONSTRAINED,
thickness=3,numpoints=500):
> G[i] := display({G1,G2},{c1,c2,c11,c22,a1,a2},
axes=BOXED, scaling=CONSTRAINED):
> od:
> plotsetup(gif, plotoutput=`d:rello_0.gif`);
> display(seq(G[i],i=1..12),
insequence=true,scaling=CONSTRAINED); |
Рис. 3.8 - Програма побудови анімаційного зображення
синхронного обертання двох трикутників Релло
Далі наведемо практичне застосування опису трикутника Релло при проектуванні шнекових прес-екструдерів. При цьому, з метою роздрібнення вогнегасного порошку, виникає задача профілювання пари насадок, кожна з яких має форму криволінійного трикутника Релло.
Мається на увазі, що пара насадок обертається синхронно (тобто в один і той же бік). Необхідно скласти алгоритм геометричного моделювання обертання пари трикутників Релло так, щоб в процесі обертання здійснювався точковий дотик. Зазначимо, що саме забезпечення можливого постійного контакту при обертанні запобігає в процесі перетирання налипанню роздрібненої маси на поверхні насадок.
На рис. 3.8 наведено програму мовою Maple V побудови окремих анімаційних фаз обертання пари трикутників Релло, кожний з яких описано за допомогою формули (3.18).
В результаті виконання програми буде утворено файл формату .gif, на якому буде записано анімацію процесу обертання. На рис. 3.9 наведено деякі кадри анімації.
В роботі також запропоновано метод наближеного опису форми трикутника Релло за допомогою рівняння в полярних координатах:
 , (3.19)
де t - полярний кут;
а - радіус описаного кола (масштабний співмножник).
До позитивних якостей формули (3.19) слід віднести її простоту. На базі цієї формули можна складати прості алгоритми зображення синхронного обертання двох трикутників Релло. На рис. 3.10 наведено приклад такої програми.
Рис. 3.9 - Синхронне обертання двох трикутників
Релло з кроком 15°
|
> restart: with(plots): with(plottools):
> a:=1: # це масштабний співмножник
> R := a/(abs(cos(3*t/4))+abs(sin(3*t/4))):
> X := R*cos(t): Y := R*sin(t):
> dd:=evalf(a*sqrt(3)/2.):
> c1 := circle([-dd,0], 0.5, color=red):
> c2 := circle([dd,0], 0.5, color=red):
> af := arccos(dd):
> a1 := arc([-dd,0], 1., af..2*Pi-af, color=red):
> a2 := arc([dd,0], 1., Pi-af..-Pi+af, color=red):
> P:=animate([X*cos(u)-Y*sin(u)-dd,X*sin(u)+Y*cos(u),
t=0.01..2*Pi],u=0..2*Pi/3,scaling=CONSTRAINED,
thickness=3,numpoints=200,frames=32,color=black):
> Q:=animate([X*cos(u)-Y*sin(u)+dd,X*sin(u)+Y*cos(u),
t=0.01..2*Pi],u=0..2*Pi/3,scaling=CONSTRAINED,
hickness=3,numpoints=200,frames=32,color=black):
> display([P,Q,c1,c2,a1,a2]); |
Рис. 3.10 - Програма побудови анімаційного зображення
за умови опису трикутників Релло рівнянням (3.19)
Наведені результати можна використати при проектуванні насадок для прес-ектрудерів [11]. При цьому шнековий прес для перетирання вогнегасного порошку повинен складатися з робочої камери, де на двох паралельних валах синхронно обертаються в одному напрямку шнеки й групи насадок-роздрібнювачів. Активний профіль кромки насадки-роздрібнювача має форму трикутника Релло.
Процес перетирання вимагає, щоб пара насадок, які розташовані в одній площині, була установлена з можливістю постійного контакту при обертанні. Це запобігає в процесі перетирання налипанню роздрібненої маси на поверхні насадок.
Тому вважатимемо розв’язаною задачу пошуку такої геометричної форми профілю насадок-роздрібнювачів, яка б задовольняла вимогам постійного точкового дотику під час синхронного обертання валів шнекового прес-екструдера. В роботі показано, що цим вимогам задовольняють насадки у формі трикутників Релло. При цьому реалізується “паралельна” обкатка трикутника Релло за схемою обертового переносу.
РОЗДІЛ 3. Геометричне моделювання синхронного обертання двох кулачків для змельчення вогнегасного порошку 73
3.1 Експлуатаційні властивості вогнегасних порошків 73
3.2 Опис екструдера для здрібнювання вогнегасного порошку 77
3.3 Опис фігури постійної ширини як основи екструдера для здрібнення вогнегасного порошку 80
3.4 Візуалізація процесу синхронного обертання пари насадок екструдера у вигляді трикутників Релло 88
Традиційна технологія пожежогасіння передбачає ліквідацію вогнища пожежі за допомогою вогнегасної речовини, яку спрямовують на полум’я спеціальним пристроєм - пожежним стволом. Вогнегасною речовиною може бути не тільки вода, піна та аерозольна суміш, але й вогнегасний порошок, пісок, навіть “підніжні” засоби.
При цьому виникає питання про геометричну форму зони розпорошення вогнегасної речовини. Досвід показує, що для різних конструкцій насадок форми зон розпорошення можуть бути суттєво різними. На рис. 2.1 наведено “вигляд зверху” прикладів фронтів зон розпорошення піску, які “сфотографовано” у рівні проміжки часу для різних насадок ствола. Для прив’язки до розмірів на горизонтальній площадці (що є фоном зображення) ще зображують масштабну сітку.
Але, на жаль, не завжди вдається створити адекватну математичну модель процесу формоутворення зони розпорошення вогнегасної речовини в залежності від часу. Тоді удаються до експериментального дослідження цього динамічного процесу, з метою знайти аналітичний опис формоутворення зони розпорошення вогнегасної речовини в залежності від часу. Пропонуємо один з таких способів, що базується на сплайн-функціях.
Нехай маємо N зображень зон розпорошення, які зроблено, наприклад, засобами цифрової відеотехніки, за рівні проміжки часу. Розглянемо фронти цих зон у полярній системі координат Oa r (рис. 2.2).
Рис. 2.1 - Приклади фронтів зон розпорошення піску
у рівні проміжки часу в залежності від насадок ствола
Рис. 2.2 - Фронти зон розпорошення у полярній системі координат
Зображення, що на рис. 2.2, допомагає визначити N+1 векторів, де координатами першого вектора будуть дискретні значення полярного кута у межах 0 < a < p . Наприклад, це можуть бути такі 11 значень кутів:
0; p /10; 2p /10; 3p /10; 4p /10; 5p /10; 6p /10; 7p /10; 8p /10; 9p /10; p .
Цим значенням повинні відповідати значення N “комплектів” радіус-векторів, які “зчитуються” із зображення, одержаного після експерименту. Наприклад, для першого контура це можуть бути такі 11 значень: 0; 0.5; 2; 7; 11; 12; 11; 7; 2; 0.5; 0.
Для інших контурів також складаються відповідні вектори. Але іноді координати наступних векторів можна виразити через координати першого вектора 0; 0.5i; 2i; 7i; 11i; 12i; 11i; 7i; 2i; 0.5i; 0, де і - масштабний множник (випадок “пропорційного” формоутворення зон розпорошення). Описувати контури зон будемо за допомогою сплайнів.
2.2 Основні положення методу сплайн-інтерполяції
Як відомо, точність поліноміальної інтерполяції катастрофічно падає при збільшенні ступеня апроксимуючих поліномів. Цього недоліку можна позбутися, використовуючи для інтерполяції відрізки поліномів невисокого ступеня, застосовувані для представлення частини вузлових точок. Найвідомішим методом такої інтерполяції є сплайн-інтерполяція на основі “відрізків” кубічних поліномів. При цьому апарат сплайн-інтерполяції дозволяє одержати поліноми, що дають у вузлових точках неперервність не лише функцій, що представляються ними, але й їх перших і навіть других похідних.
В перекладі слово сплайн означає “гнучка лінійка”, яку деформують так, щоб по ній можна було провести криву через задані точки (xi, yi). Будучи деформована таким чином, лінійка набуває форми, при якій запасена в ній пружна енергія є мінімальною. Використовуючи теорію згину бруса за малих деформацій, можна точно показати, що сплайн - це група сполучених кубічних многочленів, у місцях сполучення яких перша і друга похідні неперервні. Об’єднання таких функції і називають кубічними сплайнами. Для побудови сплайну необхідно задати коефіцієнти, що єдиним чином визначають кубічний многочлен у проміжку між даними точками.
У найпростішому випадку необхідно задати всі кубічні функції q1(x), q2(x), ..., qm(x). У найбільш загальному випадку ці многочлени мають вигляд qi(x) = k1i + k2ix + k3ix2 + k4ix3, i = 1, 2, ..., m, де kji — незмінні, обумовлені зазначеними вище умовами.
Перші 2т умов вимагають, щоб сплайни стикалися в заданих точках
qi(xi) = yi, i = 1, ..., m; qi+1(xi) = yi, i = 0, ..., m - 1.
Наступні 2т—2 умов вимагають, щоб у місцях зіткнення сплайнів були рівні перші і другі похідні:
q¢ i+1(xi) = q¢ i(xi), i = 1, ..., m - 1, q² i+1(xi) = q² i(xi), i = 0, ..., m - 1.
Щоб система алгебраїчних рівнянь мала розв’язок, необхідно, щоб число рівнянь точно дорівнювало числу невідомих. На даному етапі ми маємо 4m невідомих і 4m - 2 рівнянь. Отже, ми повинні знайти ще два рівняння. Звичайно використовують рівняння q² 1(x0) = 0 i q² m(xm) = 0.
Визначений таким чином сплайн називають звичайним кубічним сплайном. Знайшовши коефіцієнти сплайна, можна використовувати цю кусочно-гладку поліноміальну функцію для представлення даних при інтерполяції.
На перший погляд може показатися, що визначення коефіцієнтів зводиться до розв’язання 4m рівнянь з 4m невідомими. Однак, шляхом вибору виду кубічних многочленів цю задачу можна значно спростити. Так, коли окремі кубічні рівняння мають вид:
 (2.1)
де  а  і  ,
то кожне з рівнянь qi(х) містить тільки два незмінних невідомих коефіцієнти. Після того, як перше рівняння qi(х) записано, з кожним наступним рівнянням додається тільки один новий невідомий коефіцієнт. При цьому при х = xi-1 t = 0,  , а при x =xi  , t = 1. При такому виборі кубічних многочленів автоматично задовольняються всі умови, крім умов, що накладаються на другі похідні. Для внутрішніх точок виконується співвідношення
ki-1D xi+1 + 2ki(D xi + D xi+1) + ki+1D xi = 3(diD xi+1 + di+1D xi), (2.2)
а для двох зовнішніх — співвідношення
2k0 + k1 = 3d1 i km-1 + 2km = 3dm . (2.3)
Таким чином, система рівнянь, що розв’язується, є лінійною, а її матриця є тридіагональною:
 (2.4)
У системі рівнянь (2.4) число обумовлених коефіцієнтів дорівнює числу заданих точок. Тому розв’язок виявляється не більш складним, ніж у випадку апроксимації m+1 точок многочленом m-го степеня.
У багатьох роботах наголошується, що кубічний сплайн апроксимує функцію краще, ніж многочлен степеня т. Тому далі при розробці програмного забезпечення визначення форми розпорошення вогнегасної речовини ми будемо застосовувати саме сплайни.
2.3 Алгоритм побудови зображення форми розпорошення вогнегасної речовини з пожежного ствола
Вище зазначалося, що наочно сплайн-функцію можна представити у вигляді гнучкої сталевої лінійки, закріпленої у вузлових точках, що плавно згинається. Завдяки зазначеним властивостям сплайнів, вони непогано описують як функції, представлені невеликим числом вузлових точок (завдяки плавності сплайн-кривих), так і функції, що представляються дуже великим числом вузлових точок (оскільки порядок поліномів від цього числа вже не залежить).
Недоліком сплайн-інтерполяції є відсутність загального виразу для всієї кривої. Фактично доводиться використовувати набір сплайн-функцій для різних інтервалів між вузловими точками.
Для одержання сплайн-інтерполяції використовується Maple-функція spline (X, Y, var, d). Тут X і Y — одномірні вектори однакового розміру, що визначають значення вихідної функції у координатах вузлових точок (причому у довільному порядку); var — ім'я перемінної, відносно якої обчислюється сплайн-функція, нарешті, необов'язковий параметр d задає вид сплайну. Він може мати наступні значення: linear - лінійна функція, поліном першого порядку quadratic — квадратична функція, поліном другого порядку; cubic - поліном третього порядку; quartic — поліном четвертого порядку. Якщо параметр d опущений, то сплайн-функція буде будуватися на основі поліномів третього порядку (кубічні сплайни).
Техніку сплайновой інтерполяції пояснює програма, наведена на рис. 2.3. На ньому представлене завдання векторів вузлових точок X і Y і чотирьох сплайнових функцій, за якими побудовані їхні графіки. Для сплайн-функцій показані також отримані аналітичні вирази.
Як видно з рис. 2.3, сплайнова функція являє собою кускову функцію, визначену на окремих інтервалах. При цьому на кожній ділянці така функція описується окремим поліномом відповідного ступеня. Функція plot “розуміє” такі функції і дозволяє без перетворення типів даних будувати їхні графіки. На рис. 2.4 наведено результат роботи розглянутої програми.
Зазначимо, що для роботи з кусковими функціями також можна використовувати функції convert і piecewise.
restart:
readlib(spline):X := 'X': Y := 'Y':
X := [0, 1, 2, 3, 4, 5]:
Y := [0, 1, 4, 3, 2, 1]:
fl := spline (X,Y,x,linear);
fq := spline(X,Y,x,quadratic);
fc := spline(X,Y,x,cubic);
fql := spline(X,Y,x,quartic);
plot([fl,fc,fq,fql], x=-1..6, у=-1..5, color=black);
Рис. 2.3 - Програма побудови сплайн-функції
Рис. 2.4 - Приклад зображення чотирьох сплайн-функцій
Перейдемо до складання програми зображення області розпорошення вогнегасного матеріалу із пожежного ствола. Для цього визначимо сплайн за значеннями радіус-векторів (тут r - змінна величина - параметр анімації):
Y:=[0,0.2*r,1*r,5*r,10*r,12*r,10*r,5*r,1*r,0.2*r,0]:
у вузлових “точках” (тобто для значень полярних кутів):
X:=[0, Pi/10, 2*Pi/10, 3*Pi/10, 4*Pi/10,
5*Pi/10,6*Pi/10, 7*Pi/10, 8*Pi/10, 9*Pi/10, Pi]:
На рис. 2.5 наведено програму побудови анімаційного зображення процесу розпорошення вогнегасної речовини. В результаті виконання програми на диску с буде сформовано файл stvol.gif, який буде містити анімаційні кадри динамічної сцени розповсюдження вогнегасної речовини, яка надходить з пожежного ствола.
Приклади анімаційних кадрів наведено на рис. 2.6. На рис. 2.7 наведено суміщені фронти розпорошення (повернуто на 90° ).
|
restart: with(plots): with(plottools):
XX:=[0, Pi/10, 2*Pi/10, 3*Pi/10, 4*Pi/10,
5*Pi/10,6*Pi/10, 7*Pi/10, 8*Pi/10, 9*Pi/10, Pi]:
Ll := line([0.5,-3], [0.5,0],thickness=3,
scaling=CONSTRAINED):
L2 := line([-0.5,-3], [-0.5,0],thickness=3,
scaling=CONSTRAINED):
L3 := line([-0.5,-3], [0.5,-3],thickness=3,
scaling=CONSTRAINED):
for i from 1 to 50 do
r := evalf(i/25):
YY:=[0,0.2*r,1*r,5*r,10*r,12*r,10*r,5*r,1*r,0.2*r, 0]:
R := evalf(spline(XX,YY,t,cubic)):
bax := plot([R,t,t=0..Pi],coords=polar,
scaling=CONSTRAINED, thickness=3, axes=BOXED):
Gr[i] := display(Ll,L2,L3, bax,view = [-8..8,-3..25]):
end do:
display(seq(Gr[i],i=1..50),scaling=CONSTRAINED ,
insequence=true);
for i from 1 by 5 while i < 50 do Gr[i]; od;
plotsetup(gif, plotoutput= `c:stvol.gif`);
display(seq(Gr[i],i=1..50), scaling=CONSTRAINED,
insequence=true);
|
Рис. 2.5 - Програма побудови анімаційного зображення
процесу розпорошення вогнегасної речовини
Рис.2.6 - Приклади анімаційних кадрів
розпорошення вогнегасної речовини
Рис. 2.7 - Суміщені фронти розпорошення вогнегасної речовини
(повернуто на 90° )
На рис. 2.8 наведено модифікацію цієї програми, де фронти розпорошення розповсюджуються по діагоналі екрану (іноді це є більш зручним). На рис. 2.9 та 2.10 наведено приклади виконання програми.
|
XX:=[0, Pi/20, 2*Pi/20, 3*Pi/20, 4*Pi/20, 5*Pi/20,
6*Pi/20, 7*Pi/20, 8*Pi/20, 9*Pi/20, Pi]:
Ll := line([-3,3], [3,-3], color=red, linestyle=3):
for i from 1 to 50 do
r := evalf(i/25):
YY:=[0,0.2*r,1*r,5*r,10*r,12*r,10*r,5*r,1*r,0.2*r, 0]:
R := evalf(spline(XX,YY,t,cubic)):
bax := plot([R,t,t=0..Pi],coords=polar,
scaling=CONSTRAINED, thickness=3, axes=NONE):
Gr[i] := display(Ll, bax):
end do:
display(seq(Gr[i],i=1..50),scaling=CONSTRAINED,
insequence=true);
for i from 1 by 5 while i < 50 do Gr[i]; od;
plotsetup(gif, plotoutput= `c:stvol_2.gif`);
display(seq(Gr[i],i=1..50), scaling=CONSTRAINED,
insequence=true); |
Рис. 2.8 - Програма побудови анімаційного зображення
процесу розпорошення вогнегасної речовини (другий варіант)
Рис. 2.9 - Анімаційні кадри розпорошення вогнегасної речовини
 7
Рис. 2.10 - Суміщені фази розпорошення вогнегасної речовини
На практиці зручно використовувати більш просту програму, яка зображена на рис. 2.11. Ця програма дозволяє будувати як окремі, так і суміщені зображення фронтів зон розпорошення вогнегасної речовини. Тут для полярного кута обрано наступну дискретизацію:
{ 0; p /10; 2p /10; 3p /10; 4p /10; 5p /10; 6p /10; 7p /10; 8p /10; 9p /10; p }.
|
restart: with(plots): with(plottools):
XX:=[0, Pi/10, 2*Pi/10, 3*Pi/10, 4*Pi/10,
5*Pi/10,6*Pi/10, 7*Pi/10, 8*Pi/10, 9*Pi/10, Pi]:
Ll := line([0.5,-3], [0.5,0],thickness=3,
scaling=CONSTRAINED):
L2 := line([-0.5,-3], [-0.5,0],thickness=3,
scaling=CONSTRAINED):
L3 := line([-0.5,-3], [0.5,-3],thickness=3,
scaling=CONSTRAINED):
for i from 1 to 5 do
YY:=[0,0.2*i,1*i,5*i,10*i,12*i,10*i,5*i,1*i,0.2*i, 0]:
YY:=[0,0.5*i,2*i,7*i,11*i,12*i,11*i,7*i,2*i,0.5*i, 0]:
YY:=[0,1*i,3*i,7*i,11*i,12*i,11*i,7*i,3*i,0.1*i, 0]:
YY:=[0,0.1*i,1*i,3*i,7*i,12*i,7*i,3*i,1*i,0.1*i, 0]:
R := evalf(spline(XX,YY,t,cubic)):
bax := plot([R,t,t=0..Pi],coords=polar,
scaling=CONSTRAINED, thickness=3, axes=BOXED):
Gr[i] := display(Ll,L2,L3,bax,view=[-23..23,-3..61]):
end do:
display(seq(Gr[i],i=1..5),scaling=CONSTRAINED);
for i from 1 to 5 do Gr[i]; od; |
Рис. 2.11 - Програма побудови окремих та суміщених зображень фронтів зон розпорошення вогнегасної речовини
В залежності від обраного вектора з координатами значень радіус-векторів, маємо варіанти геометричних форм зон розпорошення. На рис. 2.12 - 2.1 5 зображено відповідні варіанти для значень радіус – векторів.
{0, 0.5*i, 2*i, 7*i, 11*i, 12*i, 11*i, 7*i, 2*i, 0.5*i, 0}
{ 0, 0.1*i, 3*i, 10*i, 12*i, 12*i, 12*i, 10*i, 3*i, 0.1*i, 0}:
{ 0, 0.1*i, 1*i, 3*i, 7*i, 12*i, 7*i, 3*i, 1*i, 0.1*i, 0}:
{ 0, 0.2*i, 1*i, 5*i, 10*i, 12*i, 10*i, 5*i, 1*i, 0.2*i, 0}:
|
|
|
|
Рис. 2.12 |
Рис. 2.13 |
|
|
|
|
Рис. 2.14 |
Рис. 2.15 |
РОЗДІЛ 2. Моделювання геометричної форми розпорошення речовини з пожежного ствола 58
2.1 Експериментальний метод визначення форми розпорошення 58
2.2 Основні положення методу сплайн-інтерполяції 61
2.3 Алгоритм побудови зображення форми розпорошення вогнегасної речовини з пожежного ствола 63
|
